参考文献
Poincaré 回归定理
Poincaré 回归定理是说，对于一个装备了测度的动力系统 如果 为其不变测度，并且还是有限测度(方便起见归一化为 )，那么系统中的任意一个具有正测度的集合 都会被其中几乎所有点无数次地访问(或者说回归).
也就是说，只要可测集 的测度 那么对于几乎所有的 在 的演化过程中， 会无数次地回到 中.
具体证明如下：首先证明几乎所有 中的点都至少回归 次.
为此，记 为那些 中永不回归的点所组成的集合，也即 自然，只要 那么便有 进一步地，只要 那么就有 事实上，不妨设 那么就有
因此，现在可以选出一个序列 使得 成为 中的一列互不相交的集合. 并且由于 为不变测度，因此这些集合的测度都等于 于是有
由于 为有限测度，因此必然有 这就证明了 中的点的回归的普遍性： 中几乎所有的点都至少在某个时间点 时回归一次. 需要注意的是， 的假设只是用来保证回归点的存在性：若 那么有可能会出现 的情况，也即 中没有任何回归点. 这个断言本身是不依赖于 的.
接下来只需证明 中几乎所有回归点的回归次数为无限次即可(一般来说，并不是所有回归点都会回归无限多次). 事实上，记集合 为 中的只回归有限次的回归点所组成的集合，那么对于 中的任意点 设其回归到 中的最晚时间点为 记 为一个大于 的整数，那么就有 因此有 这就表明 因此， 中几乎所有回归点的回归次数为无限次. 由于本身 中几乎所有的点都是回归点，由此可知 中几乎所有的点都会回归无限次，这就证明了 Poincaré 回归定理.