参考文献
Poincaré 回归定理之附例
首先举一个例子来说明 Poincaré 回归定理的假设中 的条件是不可或缺的. 令 为正整数，考虑状态空间 上的动力系统 其中 为 中的常向量，那么容易得到该系统的 dynamical law 为平移
取 为 上的 Lesbesgue 测度空间三元组，那么 在 dynamical law 的作用下保持不变，也即是一个不变测度. 对于 中的任意点 在 时均逃逸到无穷远处，因而 的任意的有界子集 均不具有任何回归点. 也就是说，动力系统 不满足 Poincaré 回归定理的结论. 不过这一点其实是可以预见的：Lesbegue 测度并不是有限测度；
下一个例子则说明 Poicaré 回归定理的结论中的“几乎所有点”的修饰词是不能去掉的. 考虑实直线 上的动力系统 其中 那么该系统的 dynamical law 为指数膨胀 严格来说，并不是所有轨道都会逃逸到无穷远处：从原点 出发的轨道将一直呆在原点处. 可以验证，原点处的 Dirac 测度 是此动力系统的一个不变测度：若 是原点处的 Dirac 测度空间(原则上 代数 可任意选取)，设 为可测集，那么由于 是 的不动点，并且由常微分方程定义的动力系统的 dynamical law 都是严格的单射， 因此对于任意的 包含 当且仅当 包含 这就表明 故 为不变测度.
另一方面，设 是一个包含 的可测集，那么 中除原点之外的所有的点在 时均逃逸到无穷远处，故 的唯一的回归点就是原点 然而这并不违反 Poicaré 回归定理： 中非回归点的 Dirac 测度恰恰等于零！因此“几乎所有点”的修饰词是相当考究的，反映了不变测度的内禀性质，不能去掉.