作者: Jyx, School of Physics, Light University, Land
of Light, M78 299792, Constellation Orion
1.过阻尼Langevin系统
设有一在温度为的热浴中运动的过阻尼Brown粒子，令代表时刻粒子的位置，其运动服从如下过阻尼Langevin方程：
这里取，其中是迁移率，是粒子所受外力，是标准Wiener过程，其时间导数是Gauss白噪声。
粒子概率密度分布的演化由相应的Fokker-Planck方程描述：
这里引入了局部平均速度,
表示时刻粒子在处的平均速度： 最后一步用了。
粒子概率密度也可由路径概率表示。令表示粒子在时间段内以为起点、为终点的轨迹，从而可写为: 这里, 其中是离散化路径的时间步长，对于如下Langevin方程的离散化形式
对应的路径概率是
其中代表不同的离散化方式。对系统进行时间反演, 相应逆路径的概率为：
2.过阻尼Langevin系统的随机热力学
系统在时间段内释放的随机热是系统对热浴所做的功：
其中代表Stratonovich积分。系统的随机熵产生写为:
记时刻系统的熵产生率为: 结合上式，并假设无穷远处概率为，可导得以局域平均速度表示的熵产生率：
以及热力学第二定律：
现在考虑一个无穷小时间区间内粒子从到的位移，记这段路径的概率分布为, 转移概率为, 可以写出: 类似地，反向路径的概率以及转移概率可写为: 通过计算正、反向路径概率密度之比的对数： 对比上式，注意到如果取的离散化形式(Stratonovich)，上式就是系统在正路径上的熵产生:
即细致涨落定理,
两侧取指数并整理后积分，可进一步得积分涨落定理
另一方面，对上式求(对正路径概率密度的)期望可得正路径概率对逆路径概率的Kullback-Leibler散度，因此有：
在时刻的熵产生率也可用KL散度表示为;
3.信息几何与熵产生
信息几何是概率分布流形上一种几何，其度量是由分布间的散度所诱导的。下面考虑由所有关于路径的概率分布密度所构成的流形。 ### 3.1 投影定理 正路径概率引出了转移概率, 通过(反向)转移概率可构造出一个关于的反向流形： 可见是的子流形，并且.
可以证明，是在上的投影，到的散度就是熵产生.
任取, 到的散度是： 代入与的定义后发现最后一项为, 于是得到了广义勾股定理： 由散度的非负性得到. 根据上式,
可将熵产生率写为一个最小化问题： 这是一种计算熵产生率的方法。
3.2 插值动力学
可以用流形中的一条曲线连接两个概率分布，这里关注由如下插值(Fokker-Planck)动力学所构造的曲线，该曲线连接原系统的分布和一个终点系统的分布：
其中是终点系统的局域速度,
是插值参数。可导得该插值动力学的路径概率为(取)： 上式表明，若忽略项，那么该插值动力学给出的曲线是从到的-测地线 曲线上的分布则构成了以为坐标的一维指数分布族，是的子流形。根据上式, 可得曲线上点到点的KL散度为：
曲线的线元由相邻两点间的散度定义： 其中是由KL散度诱导的Riemann度量，称为Fisher度量，也是Fisher信息。代入上式得到Fisher度量为：
Fisher度量满足如下Cramér-Rao不等式： 其中是关于路径的函数。
3.2.1 插值动力学与熵产生
如果终点分布取,
即Fokker-Planck方程的时间反演，那么上面的结论有明确的物理意义。此时曲线上两点间的散度为：
它直接与熵产生相关： 曲线的线元可写为：
上式指出熵产生对应Fisher度量，直接应用Cramér-Rao不等式可得广义热力学不确定关系：
其中是广义流：
若函数取如下形式 那么广义热力学不确定关系变为：
3.3 熵产生的几何分解
热力学第二定律给出了熵产生的下界，当且仅当系统处于平衡态时可以取到下界. 对非平衡态系统，第二定律只能给出,
为了寻求更精确的下界，人们对第二定律进行了推广。推广的第二定律应满足,
其中是新的下界，在平衡态时应为以退回第二定律。为得到该推广的第二定律，人们对熵产生进行了分解。下面给出过阻尼Langevin系统中熵产生的分解。
引入向量场间的内积：
对比上式, 熵产生率可表示为 如果将局域平均速度分解为互相垂直的两部分,
那么熵产生率就可分解为两(非负)部分：
该分解不唯一，一种有物理意义的分解是Maes-Netočný分解(MN分解)。在MN分解中，局域平均速度被分解为如下形式：
其中是满足
的梯度场，是垂直于所有梯度场的向量场：
熵产生率的MN分解为： 其中称为超额(excess)熵产生率，称为管家熵(housekeeping)产生率。如果外力是保守力，那么局域平均速度就是一个梯度场，此时总熵产生就是超额熵产生,
且在平衡态为;
如果系统处于稳态，由可知在稳态,
此时总熵产生就是管家熵产生,
且在平衡态为.
根据Fisher度量的表达式，超额熵产生和管家熵产生率可分别表示为：
因此可同样由Cramér-Rao不等式导出关于超额熵产生和管家熵产生的热力学不确定关系。
在同一参数下，不同插值动力学的路径概率分布间的散度为：
根据上式，熵产生、超额熵产生和管家熵产生率可分别表示为： 定义``零散度流形''和梯度流形: 再用上式，可导得点分别到这两个流形上的点的KL散度满足如下两个广义勾股定理： 这表明,
从而可将超额熵产生和管家熵产生表示为如下最小化问题：